1.) Ordinatendifferenz
Gegeben seien die Funktionen f(x) = x² und g(x)= x³
Die Graphen der Funktionen schließen u.a. im 1. Quadranten ein Flächenstück
vollständig ein.
Stellen Sie den Sachverhalt mit dem GTR dar !
Wir wählen nun als Beispiel den Wert x = 0,5.
Die Ordinatendifferenz ist f(0,5)-g(0,5) = 0,5²-0,5³ = 0,25 - 0,125 = 0,125.
Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die Stelle x
max , an welcher
die Ordinatendifferenz maximal wird.
Geben Sie die maximale Differenz an !
Lösung: x = 2/3 ; d''(2/3)=-2 >Max
d max= 0,148 LE
2.) Maximaler Flächeninhalt eines Rechteckes (bzw.rechtwinkligen Dreiecks)
(Leichte Aufgaben aus Klasse 9 sind mit Lösung dort zu finden )
Die Funktion f(x ) = WURZEL(0,5x+6) +2,5x schließt mit den Koordinatenachsen
eine Fläche vollständig ein.
Stellen Sie den Sachverhalt mit dem GTR dar !Die Fläche ist im II.Quadranten.zu finden.
Ein Punkt P auf dieser Kurve in dem betrachteten Bereich spannt mit den Koordinatenachsen
ein achsenparalles Rechteck
O;X
0 ;P;y
0 ,auf.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass das Rechteck maximalen Flächeninhalt hat !
Lösung: x = BETRAG(-0,47) ; y 0 = 1,225 und A = 0,576 FE
3.)Minimaler Flächeninhalt eines Dreieckes (bzw.eines Rechteckes)
Eine Gerade, die den Punkt (4;2) beinhaltet, soll mit den Koordinatenachsen
im 1.Quadranten ein rechtwinkliges Dreieck bilden.
Wie lautet deren Gleichung, wenn das Dreieck einen minimalen Flächeninhalt
aufweisen soll.
Lösung: y = -0,5 x + 4
4.)Minimaler Umfang eines Rechteckes (bzw.rechtwinkligen Dreiecks)
Ein Punkt P auf der Funktion y = 0,05x + 2,5/x spannt im 1.Quadranten mit den
Koordinatenachsen ein achsenparalleles Rechteck auf.
Veranschaulichen Sie den Sachverhalt mit dem GTR !
Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass das Rechteck einen minimalen
Umfang hat,
Wir groß ist dieser Umfang ?
Lösung: P(1,54 ; 1,70 ) u = 6,48 LE
5. Parameter
Gegeben sei eine Kurvenschar f
t(x) = 4 x
-1-4t x
-2
(x ungleich 0 und t sei größer als 0 )
Bestimmen Sie die Koordinaten des Extremums in Abhängigkeit von t
und die Art des Extremums !
Das Extremum spannt im 1.Quadranten ein achsenparalleles Rechteck auf.
Berechnen Sie t so, dass der Umfang des Rechteckes minimal wird.
Geben Sie die Seitenlängen des Rechteckes an ! Um welches Rechteck handelt es sich ?
Lösung: x E= 2t ; f ( x E)=1/t
f''(x E= -2/(2t³) <0 (weil t>0) MAX
MAX(2t ; 1/t )
Zielfunktion: u(t)= 4t + 2/t
t= WURZEL(0,5). a=1,41 b=1,41
Quadrat mit minimalem Umfang von 5,66 LE
Ende.